En una entrada anterior ya he mencionado el uso de mecanismos para la solución de problemas de cálculo. Hay un libro de Joseph Lipka publicado en 1918, Graphical and Mechanical Computation, que describe los principios en los que se basan los métodos mecánicos de cálculo. En el tomo 2, capítulo IX, artículo 107 hay una descripción de los principios geométricos y matemáticos en los que se basa el funcionamiento de un integrador mecánico.
El integrador mecánico era un dispositivo bastante popular muy utilizado por muchas ramas de la ciencia e ingeniería que usaban técnicas de cálculo gráfico en las que era necesario calcular el área de contornos irregulares, por ejemplo, el área de un lago en un mapa, o las curvas resultantes de un graficador de una máquina de resistencia al esfuerzo. Las técnicas de espectrometría por cromatografía de líquidos o gases dan como resultado unas gráficas en las que es necesario conocer el área bajo las curvas. Ahora esto es una labor muy sencilla, como la mayoría de los cromatógrafos tienen su PC de control, simplemente hay que señalar dos puntos en la pantalla y pedir que el programa calcule el área. Pero en los tiempos anteriores a las PC's esto se hacía por otras técnicas; de hecho alguien me contó de un especialista en cromatografía que recortaba el perfil de las curvas y pesaba los papelitos en una balanza analítica para establecer una correlación entre la masa del papel y su área.
Planímetro polar.
El planímetro polar es el integrador mecánico más común y mas sencillo de utilizar, es un planímetro de una sola rueda. En la foto está un planímetro que compré en una subasta en línea, bastante barato comparado con su costo original que en dólares de hoy andaría alrededor de los USD $200.00.
Planímetro Kauffel & Esser Co. en su estuche.
Es un aparato sencillo y bonito, está algo desgastado, se ve que lo usaron mucho y tiene algunas marcas de corrosión, pero el mecanismo gira con suavidad, los diales son claros así que poniendo a un lado el aspecto estético el planímetro está integro y es funcional.
En la siguiente foto está el planímetro ensamblado. El brazo de apoyo tiene una punta afilada que se entierra en una superficie como una punta de compás. La articulación es por medio de un pivote esférico que permite el movimiento suave. La lupa tiene el cursor o seguidor y en la esquina izquierda se ve la escala en donde se ve el resultado.
El planímetro ensamblado.
Antes de iniciar una medición hay que poner los diales a cero con la ruedita que está del lado derecho. El primer dial, el rectangular, mide una revolución con una resolución de 0.001 de revolución gracias a una escala Vernier. Una revolución completa de la rueda integradora equivale a un área de 10 pulgadas cuadradas, un asunto que tiene que ver con que este planímetro era usado en los EE.UU. donde todavía se mide en pulgadas. La resolución del planímetro es de 0.01 pulgadas cuadradas o 0.065 milímetros cuadrados.
Una medición sencilla
Para comprobar el funcionamiento del planímetro tracé un cuadrado de 50x50 mm, 2,500 milímetros cuadrados. Para medir el cuadrado puse el centro de la lupa en una esquina y recorrí el perímetro en el sentido de las manecillas del reloj, es decir, hacia la derecha. El recorrido para la rueda de integración debe ser suave y sin topes para evitar los errores.
Antes de iniciar una medición los dos diales se deben poner a cero con la rueda amarilla del lado derecho
Midiendo el contorno de un cuadrado de área conocida
El pequeño círculo en el fondo de la lupa es el cursor usado para seguir el contorno.
La lectura del dial al cerrar el perímetro del cuadrado es 0.39 lo cual es igual a 3.9 pulgadas cuadradas. Cada pulgada cuadrada tiene 645.16 milímetros cuadrados. Multiplicando 3.9 x 645.16 = 2,516 milímetros cuadrados ... un resultado bastante bueno. Mediciones repetidas sobre el mismo cuadrado dieron 0.38, 0.39, 0.39, hubo una que dio 0.46. No está mal la repetibilidad del instrumento, supongo que tiene que ver también con la habilidad del operario.
Formas irregulares
El siguiente ejercicio tiene el objeto de hacer uso del planímetro con su propósito original: la medición de áreas delimitadas por contornos irregulares. Saqué mi juego de curvas francesas y dibujé lo que bien podría ser un contorno de piscina. Puse los diales en cero, tracé una marca de referencia donde iniciaría y terminaría la medición y seguí el contorno recorriéndolo con el cursor hacia la derecha.
Medición de un área con un contorno irregular
Las mediciones repetidas dieron un valor medio de 0.617 = 6.17 pulgadas cuadradas = 3,980 milímetros cuadrados. No tengo manera de comprobarlo pero dados los buenos resultados de las mediciones de un área conocida creo que puedo confiar en el resultado.
Comentarios y conclusiones
El estuche del planímetro incluye una plantilla de referencia para verificar que está trabajando bien y que no hay errores en la rueda de integración. Seguramente debo usarla un día de estos para ver que tan bien está funcionando este aparatito.
La falta de instructivo no es problema, hay varias fuentes en línea donde es posible consultar copias de los instructivos originales. Hay que agradecerle a los aficionados a estos aparatos la dedicación que ponen al publicar esta información.
Un día de estos me gustaría conseguir un planímetro que midiera directamente en metros, centímetros o milímetros.
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